‘Stel nou eens’, zei de man met het triomfantelijke gezicht van een koele moordenaar die doet alsof hij zijn aanstaande slachtoffer nog enige hoop op overleven geeft maar die allang weet hoe deze scène gaat aflopen, ‘dat je in de finale van een spelshow staat en er zijn drie deurtjes, waar…’
‘Deurtje 1 natuurlijk!’, riep ik meteen, in de vaste overtuiging korte metten met dit ongetwijfeld stomme spelletje te maken. ‘Want de 1 is het eerste cijfer van mijn geboortedag én van mijn geboortejaar, en als ik vroeger bij gym als laatste werd gekozen moest ik altijd keepen en dan heb je ook altijd rugnummer 1.’
Ik weet niet veel van spelletjes op tv, maar ik weet wel dat je altijd een reden moet geven voor het getal dat je kiest. Als op het laatst het koffertje met de geboortedag van opa en dat met de sterfdag van de hond nog over zijn, wordt er een hulplijn ingeschakeld voor koortsachtig overleg.
‘Drie deurtjes dus. Achter een daarvan zit honderdduizend euro, en achter de andere twee een lege koffer. OK, dus jij zegt deurtje 1. Stel nu dat de presentator…’
‘Caroline Tensen?’
‘Voor mijn part.’
‘Gadver.’
‘Stel nu dat de presentator deurtje 3 opent, en daar zit een lege koffer achter. En stel dan dat je de gelegenheid krijgt om te switchen van deurtje, dus dat je ook voor deurtje 2 mag spelen. Wat moet je dan doen, switchen of niet?’
En nog steeds die triomfantelijke kop, die inmiddels wel enige argwaan begon te wekken.
‘Ik neem aan dat je ervan uitgaat dat ik liever die ton heb dan een lege koffer?’, vroeg ik, nooit verlegen om een kwinkslag uit onverwachte hoek. ‘Want ik ga wel binnenkort met vakantie.’
‘Van een ton kun je hele mooie koffers kopen.’ – nee, dat had ik zelf nog niet bedacht.
‘Nou, dan maakt het natuurlijk geen ene donder uit’, stelde ik vervolgens met de mij eigen overtuigingskracht, met een vanzelfsprekendheid die er normaal gesproken toe leidt dat de gesprekspartner wit wegtrekt en nederig zijn excuses aanbiedt voor het überhaupt stellen van zo’n domme vraag.
Maar de triomfantelijke tronie wist van geen wijken, integendeel.
‘Nee, dan kun je beter switchen, want dan is de kans veel groter dat je wint.’
Ik houd er niet van om in de maling genomen te worden, maar zoals Cruijff al zei: je gaat het pas zien als je het doorhebt. De vraag is dus of ik er wel van houd om u in de maling te nemen.
De oplossing is simpel:
Stel jij kiest iedere keer deurtje 1, de prijs kan in deurtje 1, 2 of 3 zitten.
Er kunnen dan 3 situaties voorkomen, je hebt steeds 33% kans om in die situatie terecht te komen.
33% kans op Situatie 1: (1:prijs) (2:geen prijs) (3:geen prijs)
33% kans op Situatie 2: (1:geen prijs) (2:prijs) (3:geen prijs)
33% kans op Situatie 3: (1:geen prijs) (2:geen prijs) (3:prijs)
Nu maakt de presentator een deurtje open, de volgende 3 situaties ontstaan, je hebt steeds 33% kans om in een situatie terecht te komen.
33% kans op Situatie 1: (1:Prijs) – (2of3:geen prijs)
33% kans op Situatie 2: (1:Geen prijs) – (2:prijs)
33% kans op Situatie 3: (1:Geen prijs) – (3:prijs)
Je ziet dat in 2 van de 3 situaties wisselen de prijs oplevert.
De kans op de prijs bij wisselen is dus 66%!
Ik kan me vaagjes een andere uitleg herinneren. Als je bij je eerste keus blijft, dan blijf je bij een keus van 33,333% kans dat je de prijs pakt, dus blijft je 33,333% kans houden op de prijs, terwijl als je switcht, je automatisch voor een 50% kans gaat. Maar dit zal wel onzin zijn. 🙂
@Iamzero: Dat zou alleen opgaan als je zeker weet dat hij in alle gevallen het eerstvolgende deurtje na de prijs neemt en hij dán deurtje drie kiest. Anders ben je alleen aan het berekenen hoe groot de kans is dat Henny Huisman een bepaald deurtje kiest, niet achter welk deurtje de prijs zit.
Die met die geitjes is makkelijker, want die kun je ruiken.
Jaja. Maar wat als je switcht terwijl je goed zat? Hoe bereken je het gemiddelde kanspercentage?
Niet dus, want Hennie moest wel een deurtje openmaken waar geen prijs achter zat. Als je deurtje 1 openmaakt en de prijs zit achter deurtje 1, kan Hennie kiezen en deurtje 2 of deurtje 3 openmaken. Heb je deurtje 1 gekozen en zit de prijs achter deurtje 2, dan moet Hennie echter wel deurtje 3 openmaken.
Omgekeerd: wanneer Hennie deurtje 3 heeft opengemaakt, is de kans groter dat dat is omdat de prijs achter deurtje 2 zit (want dan moest-ie wel) dan omdat-ie achter deurtje 1 zit (want dan had-ie ook deurtje 2 open kunnen maken).
Dat dacht ik ook al. Als je bij je eerste keuze blijft, is de kans dat je daarmee goed zit, automatisch ook verhoogd omdat Hennie Huisman een deurtje opendeed.
Is dat niet een valse redenering? De kansberekening gaat immers alleen omhoog omdat er een mogelijkheid is weggevallen, wat niets met het switchen te maken heeft.
Volgens mij klopt er hier iets niet 🙂
VIC was ook ooit eens in een wiskundeles waarin hetzelfde “raadsel” werd verteld… helaas zat daar een autist/zwak-en/of-hoogbegaafd iemand die niet snapte dat de deuren niet doorzichtig waren.
…
xV
Inderdaad rond de 60% geloof ik. De reden waarom ik het urenlang weigerde te geloven was omdat degene die het vertelde tactisch achterwege had gelaten dat de presentator met voorkennis handelde en dus wist dat hij een deurtje zonder prijs opende.
Zie hier voor een fijne toelichting met geitjes en auto’s in plaats van tonnen en lege koffers.
VIC zag dit nare verhaaltje laatst ook al in de nare film “21”. Maar Laurent heeft gelijk: je moet switchen als de presentator deur 3 voor je geopend heeft als zijnde prijsloos; kans ligt volgens VIC inderdaad ook ergens in de 60% (66%?) dat je het met de switch aan het juiste eind hebt.
xV
Ik heb de berekening niet paraat, maar mijn broer heeft het ca vijfentwintig jaar geleden uitgerekend (n.a.v. de verschrikkelijke Willem Ruis Show) en je moet switchen. En als mijn broer iets berekent klopt het doorgaans.
Zonder berekening kun je het als volgt enigszins begrijpen: de presentator kan nooit de deur met de prijs openen, en door jouw eerste keuze heeft hij nog maar één mogelijkheid om een andere deur te openen. Dat feit bevat extra informatie waardoor de kans groter dan 50% is dat het niet de deur is die je gekozen hebt waar de prijs zich in bevindt.
Ik meen me te herinneren dat de kans ergens in de 60% was dat de prijs zich in de andere kast bevindt.